🌌 三体问题知识手册

📌 一、初始值含义

三体问题在二维平面中，每个天体有 4 个自由度：位置 (x, y) 与速度 (vx, vy)。三个天体共 12 个初始值，加上 3 个质量，共 15 个参数。

1.1 位置 (x, y)

天体在二维平面上的坐标，单位为无量纲（此模拟中 1 单位 ≈ 画布上的 200 像素）。

• 质心：三体位置的加权平均，若初值满足 Σ mᵢ·rᵢ = 0，则质心在原点。
• 8 字型解的质心：位于原点，因此三体系统整体不动，只有内部运动。

1.2 速度 (vx, vy)

天体在 x 和 y 方向的速度分量。影响轨迹形状和系统总能量。

• 总动量为零：Σ mᵢ·vᵢ = 0 时，系统质心静止，这是 8 字型解的必要条件。
• 总角动量为零：Σ mᵢ·(rᵢ × vᵢ) = 0 时，系统不发生整体旋转。

1.3 质量 (m)

天体的引力"荷"。质量越大，引力越强，对周围天体的影响越大。

• 等质量 (1:1:1)：8 字型解、等边三角形解成立的前提。
• 质量悬殊 (如 10:1:1)：近似"双星 + 行星"系统，更稳定。
• 归一化总质量 = 3：保持质量比不变，把所有质量等比缩放使总和为 3。

⚛ 二、物理量解释

2.1 比能量 (Specific Energy)

每个天体单位质量的能量，是判断逃逸的关键指标：

• Eᵢ < 0：束缚态。该天体能量不足，逃不出系统引力。
• Eᵢ > 0：逃逸态。该天体速度超过局部逃逸速度，将飞向无穷远。
• Eᵢ = 0：临界态。刚好逃到无穷远时速度为零。

2.2 合力 (Total Force)

天体 i 受其他两天体引力的矢量和：

2.3 引力场与等势线

三体引力势叠加：

等势线（引力场开关）由 Marching Squares 算法从网格采样中提取。势阱越深，等势线越密集越亮。

🪐 三、三体的已知周期解

3.1 拉格朗日等边三角形解 (1772)

三个天体始终组成等边三角形，绕共同质心旋转。

• 稳定性：取决于质量比。等质量时不稳定！
• 稳定性判据：Routh (1875) 发现需要质量参数 β < √2，等质量时 β = √3 ≈ 1.732 > 1.414，所以不稳定。

3.2 欧拉共线解 (1767)

三个天体始终共线，绕质心做周期运动。

• 不稳定：共线是"针尖上的平衡"，稍微偏移就会产生垂直连线方向的合力。

3.3 8 字型周期解 (2000)

三个等质量天体沿同一条"8"字曲线运动，互相追赶。

• 不稳定：但失稳速率比前两者更慢（特征指数 λ ≈ 0.01~0.05）。

✧ 四、三引力线共点定理

4.1 定义

每个天体所受合力方向的反向延长线称为该天体的"引力线"。三条引力线是否交于同一点？

4.2 数学结论

4.3 何时共点？

• 三体共线：三条引力线完全重合（退化共点）。
• 等边三角形旋转解：三线严格共点于质心。
• 8 字型特定相位：一个周期内离散发生 2~3 次。

🚀 五、逃逸的关键因素

5.1 核心机制：能量再分配

三体系统逃逸的根本原因是引力相互作用导致的能量再分配：

总能量守恒，但各个天体的能量不守恒——引力做功会在天体之间转移能量。

5.2 三种逃逸机制

5.3 逃逸的最终命运

对绝大多数初始条件，三体系统最终会解体为"双星 + 逃逸单星"。

5.4 本模拟中的逃逸检测

每个天体的比能量面板实时显示 Eᵢ：

• 束缚态：绿色能量条，标签"束缚"
• 逃逸态：卡片变红闪烁，画布上天体变红 + 脉冲光环 + "⚠ 逃逸"文字
• 滞后检测：需要 E 持续超过阈值才确认，避免近距离交会时的误判抖动

🌪 六、混沌与稳定性

6.1 什么是"不稳定"？

动力学系统的稳定性由 Lyapunov 指数 λ 描述：

• λ < 0：稳定。扰动逐渐衰减。
• λ = 0：中性稳定。扰动保持。
• λ > 0：不稳定。扰动指数增长：δ(t) ~ δ(0)·e^(λt)。

6.2 三体问题的混沌本质

6.3 各解的稳定性对比

🎮 七、操作指南

7.1 画布操作

• 拖动：平移视图
• 滚轮 / 双指捏合：缩放
• 自动适应：根据三体位置自动调整视图（平滑跟随，用户交互时自动退出）
• 重置视图：回到初始缩放与中心

7.2 显示开关

7.3 初值设置

• 质量 (m₁, m₂, m₃)：金色输入框，改变引力强度
• 位置 (x, y)：天体坐标
• 速度 (vx, vy)：速度分量
• 预设：8 字型、等边三角形、共线欧拉、随机扰动
• 归一化总质量：按比例缩放质量，使总和 = 3
• 应用初值并重置：用新初值重启模拟

7.4 观察建议